在鑄錠凝固過程中，增加壓力能夠改善鑄型和鑄錠的接觸環(huán)境，為了深入研究壓力強化鑄錠和鑄型間換熱的效果，在能量守恒的基礎(chǔ)上，運用導(dǎo)熱微分方程，建立換熱系數(shù)的反算模型，量化壓力對換熱系數(shù)的影響規(guī)律。該模型包含傳熱正問題模型和傳熱反問題模型。

1.傳熱正問題模型

  凝固過程中的熱量傳輸是凝固進行的驅(qū)動力，直接關(guān)系著金屬液相凝固的整個進程。凝固過程中，熱量通過金屬液相、已凝固的金屬固相、鑄錠－鑄型界面（氣隙等）和鑄型的熱阻向環(huán)境傳輸。因存在凝固潛熱的釋放，凝固是一個有熱源的非穩(wěn)態(tài)傳熱過程，基于凝固過程熱傳導(dǎo)的能量守恒原理，柱坐標下鑄錠和鑄型的導(dǎo)熱分方程可表示為:

  鋼液釋放凝固潛熱，進而在體積單元內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)熱源q;在運用數(shù)值離散的方法求解導(dǎo)熱微分方程時，凝固潛熱的處理方法通常有四種，分別為等效比熱法、熱焓法、溫度回升法以及源項處理法。孫天亮對四種凝固潛熱的處理法進行比較發(fā)現(xiàn)，源項處理法最為精確，其次是等效比熱法，誤差較大的是溫度回升法和熱焓法；在一般情況下，為了簡化計算和降低編程難度，可采用等效比熱法處理凝固潛熱。因此，在非穩(wěn)態(tài)條件下，內(nèi)熱源與凝固潛熱的關(guān)系可表示為:

  此外，由于鑄錠的凝固收縮和鑄型的受熱膨脹，鑄錠和鑄型接觸隨之發(fā)生變化，當(dāng)鑄錠和鑄型間氣隙形成以后，鑄錠向鑄型的傳熱方式不只是簡單的傳導(dǎo)傳熱，同時存在小區(qū)域的對流和輻射傳熱，進而加大了計算的復(fù)雜性，為了降低計算的復(fù)雜性和難度，采用等效界面換熱系數(shù)hi來替代氣隙形成后鑄錠和鑄型間復(fù)雜的傳導(dǎo)、對流和輻射傳熱過程，在不考慮間隙比熱容的情況下，等效界面換熱系數(shù)h;計算方法如下：

2. 傳熱反問題模型

  與正問題相對應(yīng)的反問題，即在求解傳熱問題時，以溫度場為已知量，對邊界條件或初始條件進行計算的過程。傳熱反問題的研究從20世紀60年代以來得到了空前的進步與應(yīng)用。在鑄造過程中，鑄錠和鑄型間邊界條件的反問題也一直備受關(guān)注。通傳熱正問題模型可知，在鑄錠和鑄型物性參數(shù)、初始條件以及除鑄錠和鑄型間邊界條件以外，其他邊界條件可知的情況下。溫度場可表示成隨鑄錠和鑄型間界面換熱系數(shù)變化的函數(shù)，即

  利用傳熱反問題模型，運用數(shù)值離散的方法求解界面換熱系數(shù)的過程，相當(dāng)于依照一定的方法或者規(guī)律選定界面換熱系數(shù)，并以此作為已知邊界條件，利用傳熱正問題計算出相應(yīng)的溫度場，如果溫度場的計算值與測量值之間的偏差最小，那么選定的界面換熱系數(shù)最接近真實值。為了度量溫度場計算值與測量值之間的偏差，利用最小二乘法構(gòu)建以下函數(shù)關(guān)系

  因此，在給定界面換熱系數(shù)初始值的情況下，利用式（2-151)可對界面換熱系數(shù)h進行迭代求解，每次迭代均利用傳熱正問題模型對熱電偶測量點的溫度T(h)進行計算；當(dāng)?shù)Y(jié)果滿足精度要求時，即可獲得接近界面換熱系數(shù)真實值的h.對于一維導(dǎo)熱過程，界面換熱系數(shù)反算模型求解過程中可用如圖2-77所示的幾何模型，除了鑄錠和鑄型間邊界條件以外，模型中還包含兩個邊界條件，分別為鑄錠心部邊界條件（B1)和外表面邊界條件（B2).

3. 正/反傳熱問題的數(shù)值求解方法

  數(shù)值離散方法主要包含有限元、有限體積及有限差分法。有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。有限體積法的基本思路是將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上因變量的數(shù)值。有限差分法是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域，以泰勒級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

  以隱式有限差分為例，對通式（2-152)進行數(shù)值離散，二階導(dǎo)數(shù)采用二階中心差商形式，經(jīng)整理得：

  為了更好地說明壓力對界面換熱系數(shù)的影響，以高氮鋼P2000加壓凝固過程的傳熱現(xiàn)象為例，采用4根雙鉑銠（B型）熱電偶，通過埋設(shè)熱電偶測溫實驗測量凝固過程鑄錠和鑄型溫度變化曲線，采用兩個位移傳感器測量凝固過程中鑄型和鑄錠的位移變化情況，獲得凝固過程中鑄錠和鑄型界面氣隙演變規(guī)律，測量裝置示意圖和實物圖如圖2-79所示。

  澆注結(jié)束后，在0.5MPa、0.85MPa和1.2MPa下的鋼液凝固過程中，鑄錠和鑄型溫度變化曲線的測量結(jié)果如圖2-80所示，溫度變化曲線測量的時間區(qū)間為澆注結(jié)束后的300s以內(nèi)，且鑄錠和鑄型在不同壓力下的溫度變化趨勢基本一致。以0.5MPa下的溫度變化曲線為例，如圖2-80(a)所示，在初始階段，2nd和4h曲線上溫度均存在陡升和振蕩階段，這主要是在測溫初期，熱電偶與鋼液接觸后的自身預(yù)熱，以及澆注引起鋼液的湍流所致［104];隨著鋼液凝固的進行，由于鑄錠不斷向鑄型傳熱，致使鑄錠的溫度（2nd和4h)逐漸減小，而鑄型的溫度（1st和3rd)隨之增加。此外，測溫位置相近的3rd和4th曲線之間存在較大的溫差，這主要是由于鑄錠和鑄型間氣隙形成后產(chǎn)生的巨大熱阻Rair-cap(=1/hi),其中h為鑄錠和鑄型間的換熱系數(shù)。

  不同壓力下鑄型溫度的增長速率（15t和3rd)和鑄錠的冷卻速率（2d和4h)如圖2-81所示，當(dāng)壓力從0.5MPa增加至1.2MPa時，鑄錠內(nèi)2md和4h熱電偶測溫點冷卻速率的增量分別為0.335K/s和0.605K/s.與此同時，在澆注結(jié)束后300s時，鑄錠內(nèi)2d和4h測溫位置之間的平均溫度梯度從4.0K/mm增加到了8.6K/mm.由導(dǎo)熱的傅里葉定律（Qingor=αGr,α為19Cr14Mn0.9N鑄錠的導(dǎo)熱系數(shù)，Qingot為熱通量）可知，隨著壓力的增加，鑄錠內(nèi)沿度梯度方向上的熱通量增大。此外，根據(jù)能量守恒定律（即Q=Qingot,Q為鑄錠和鑄型間的熱通量），鑄錠和鑄型間的熱通量也隨之增加。因此，增加壓力能夠顯著加快鑄錠的冷卻以及強化鑄錠和鑄型間的換熱。

  在0.5MPa、0.85MPa和1.2MPa壓力下的鋼液凝固過程中，鑄錠和鑄型的溫度測量值作為輸入值（圖2-80),運用驗證后的反算模型，對鑄錠和鑄型間界面換熱系數(shù)隨時間的變化規(guī)律進行反算，反算過程中時間步長Δt取值為0.75s,空間步長Δr取值為1mm,常數(shù)β和8分別為10-10和200.換熱系數(shù)的反算結(jié)果分別為hos、ho85和h2,隨時間的變化規(guī)律如圖2-82所示，由于Δt和8乘積為150s,結(jié)合Beck非線性估算法本身的特點，只能反算出凝固前期150s內(nèi)hos、ho.85和h2隨時間的變化規(guī)律。此外，因熱電偶本身的預(yù)熱以及澆注引起鋼液的湍流，導(dǎo)致2nd和4th熱電偶的在前30s內(nèi)存在較大的波動，因此反算出的界面換熱系數(shù)在前期存在一定的波動，其中h2最大，其次是ho.85,ho5最小。

  擬合后的參數(shù)Adj.R-Square分別為0.9558、0.9716和0.9692,說明擬合度高，反算結(jié)果和經(jīng)驗公式相符。通過對比不同壓力下反算出的界面換熱系數(shù)可知，隨著壓力的增加，界面換熱系數(shù)增大，鑄錠和鑄型間界面換熱條件得到明顯改善，充分說明壓力在19Cr14Mn0.9N含氮鋼的凝固過程中，起到了十分顯著的強化冷卻作用。

  眾所周知，在某一時刻下，界面換熱系數(shù)與壓力呈現(xiàn)多項式關(guān)系。為了獲得19Cr14Mn0.9N 含氮鋼界面換熱系數(shù)與壓力之間的關(guān)系，可采用多項式擬合的方式對界面換熱系數(shù)與壓力關(guān)系進行擬合，擬合關(guān)系式為